1. 引子

    这里的读者一定不会反对：中华民族五千年整体上并不特别崇尚自然科学，也没有深厚的研究传统积淀。直到一百多年前，我国才开始引入自然科学及其研究范式。因此，要追赶甚至引领自然科学某个领域或学科，将是我们一代代人长期的使命。这种追赶即便在过去四十年获得长足进步，但真正要实现赶超估计还需要很长时间，虽然已经有很多人开始乐观甚至喜悦了。

    的确，对每一个学科，我国似乎在那么几个点或者线上实现了赶超，却依然远谈不上引领。物理学中也有那么几条线，我国做得还不错。例如，量子信息中的量子密钥算一个？凝聚态物理中的拓扑量子物理算一个？对于拓扑量子物理，从三维拓扑绝缘体、到量子反常霍尔效应，再到外尔（Weyl） 半金属，及至拓扑量子材料的设计、制备和表征，中国若干团队表现出色，并在与国外同行的合作中获益良多，开始参与良性竞争，算得上像马拉松那样刚刚进入了第一方阵。这是值得欣喜的，也因此，这方面重要的进展值得展示与推动。本文即宛若浪花一点，企图映衬拓扑量子物理一项刚刚取得的成果。

    2. 拓扑量子材料

    所谓拓扑，原本是一个数学概念，表示一类由系统整体决定而对细节不敏感的性质。这一概念在分析几何学时颇为有用，因此有拓扑几何这样的数学分支学科。拓扑概念进入到人类日常生活似乎不多见，倒不是因为它乃阳春白雪，而是因为人类日常生活大多由具体性质组成。细节不同，结果迥异，关注如图1 所示的差别并不能让生活更为有趣或伤感。当然，因为最近拓扑量子物理领域方兴未艾，这一状况发生了巨大变化。

图1. 什么是拓扑？中国人每天很忙碌，不会去那么关注这类问题，何况还很无聊。

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图2. 霍尔效应的家族 （上）。量子霍尔效应 QHE 和量子反常霍尔效应 QAHE 的输运特性（下）。

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/28/12/123002

https://physics.aps.org/assets/9ac4d5fc-1f30-4b5e-ab51-eba713582df7/e41_1.png

    拓扑这个概念融入到凝聚态物理，归因于 1980 年代量子霍尔效应的发现，更归因于对这一现象深刻的理解。霍尔效应家族的主要成员集成于图2 所示。D. J. Thouless 等人开创性地将拓扑概念应用来描绘一些特殊固体的波函数及其拓扑性质。当然，这种拓扑是针对动量波矢空间的，而不是指实空间的拓扑。这一尝试自然是物理思想上的一个突破，是数学与物理相结合的一大典范。由此，凝聚态中的拓扑性质开始受到关注，洋洋洒洒三十余年积累之后，拓扑量子物理终于以三位先驱 D. J. Thouless、F. D. M. Haldane 和J. M. Kosterlitz 获得2016 年诺贝尔物理学奖为契机，准备飞入寻常百姓家。

    拓扑量子态的一个重要物理现象即量子霍尔效应，如图2（下） 示。其中出现了一系列边缘态，由霍尔电阻ρxy  呈现水平台阶来表征 （台阶高度可以是 h / e2 的整数倍或分数倍）。每一个这样的边缘态都是手征的 （chiral），也就是说在磁场一定 （实际上在一定范围内） 的情况下，电子只能沿着样品的边缘往一个方向 （顺时针或逆时针取决于磁场方向） 运动。这一性质使得这一边缘态 （如载流子运动） 无法被杂质或晶格振动散射到反方向运动的量子态，即背散射被禁止。所以，流过样品的纵向电阻ρxx  为零，如图2 （下）所示。

    这里，我们能够嗅到拓扑量子材料的优势！一个好的拓扑材料，它与拓扑不变量相关的某些性质将会对缺陷、杂质甚至外界刺激 （场、热、力等） 不敏感。如果这些性质正是实际应用所追求的，则这些材料将大大超越现有材料，从而为构建下一代新器件和新应用提供可能。

    但是，实现量子霍尔效应需要施加巨大外磁场，大大限制了实际器件中的应用。为了解决这一问题，也出于物理人对量子霍尔物理的好奇，近年来一个很知名的成果是发现了具有时间反演对称性的“量子自旋霍尔绝缘体 （即二维拓扑绝缘体）”。这一里程碑性的工作由宾夕法尼亚大学 C. L. Kane 和 E. J. Mele 以及斯坦福大学B. A. Bernevig, T. L. Hughes 和 S.C. Zhang 分别在石墨烯以及HgTe 量子阱中完成，极大地推动拓扑量子物理成为凝聚态物理的前沿和主流。这一新效应且示于图3。

图3.（A） 拓扑绝缘体的体内和表面输运机制。（B） 二维拓扑绝缘体边缘态的输运行为。

https://www.ntt-review.jp/archive/ntttechnical.php?contents=ntr201707fa6.html

http://www.fz-juelich.de/SharedDocs/Bilder/PGI/PGI-9/EN/Aktuelles/VITI-2012-EN.jpg?__blob=poster

    在二维拓扑绝缘体中，金属边缘态之自旋 - 动量被锁定，因此边缘态输运可以不受非磁性杂质的散射，无耗散传输得以实现。这一特性无论是从基础科学还是从实际应用角度都是令人激动的，这也是为什么这类体系会成为物理、材料以及电子信息领域前沿的原因之一。

    随后的工作揭示拓扑绝缘体并不局限于二维。2009 年，中科院物理所方忠、戴希研究组预言：在强自旋-轨道耦合下，Bi2Se3 是受时间反演对称保护的三维拓扑绝缘体。这一体系广受关注，时至今日，依然是最受关注的三维拓扑绝缘体。对三维拓扑绝缘体进行磁性掺杂，清华大学薛其坤成功观测到量子反常霍尔效应。这些重要结果使得三维拓扑绝缘体和丧失了时间反演对称的磁性拓扑绝缘体都走入拓扑量子物理的前沿，中国物理人在拓扑量子物理领域的工作受到关注并开始在某些方向上引领未来。

    在拓扑量子物理的另一条战线上，中国物理人表现也不错。2011 年，南京大学万贤纲与合作者理论预言了外尔 （Weyl） 半金属态，并揭示其特有的表面态----费米弧。所谓费米弧，是指外尔半金属表面态的费米面不是闭合的，而是一开放线段。这一开放线段连通两个手性相反的 Weyl 点于表面上的投影。这一理论工作将拓扑的概念由绝缘体推广到金属体系，触发外尔半金属物理研究成为凝聚态物理的前沿领域，涌现了许多漂亮的工作。需要特别指出的是，麻省理工学院的付亮揭示出晶格对称性显著影响电子的拓扑性质，对拓扑量子物理领域发展有重要贡献。

    3. 难为无米炊

    目前，已经预言和实验发现了若干拓扑量子态，主要包括三维强拓扑绝缘体和弱拓扑绝缘体、镜面陈绝缘体、高阶拓扑绝缘体、Dirac / Weyl 半金属、节线型拓扑半金属、多重简并费米子态、Hourglass 费米子态等。此等名词纷繁，令人眼花缭乱、目不暇接。这些拓扑材料均具有常规材料所没有的奇特物性，譬如拓扑保护边界态、手征反常、费米弧等，可以预期在下一代电子、信息及至能源领域有很大应用潜力。事实上，过去十多年来，这些对材料的缺陷、杂质细节不敏感的拓扑量子材料将越来越成为基础科学及工程应用领域的前沿课题与追求。

    总而言之，拓扑量子材料研究过去近十年可谓热火朝天，高等级成果层出不穷。然而，好的拓扑量子材料却并不多，甚至可以说已经预言和实验证实的拓扑量子好材料还很少。时至今日，还没有一种真正具有应用潜力的材料被预言或合成出来。诸如二维 / 三维拓扑绝缘体、外尔半金属等已经发现的那些材料，其拓扑量子态都是在非常极端的条件下 （超低温、超高场、超高难度制备） 才能观测到，更别说去应用这些拓扑量子态的性质了。

    这一发展态势和现状给我们一个“错觉”：自然界中拓扑量子材料很少，每一个都是珍稀品种。这样一来，一方面，物理人对每一个被发现或预言的新体系都给予关注，无论它有没有潜在应用价值。另一方面，到目前为止的结果展示好的材料实在是不多，那么这个领域未来的发展是否又会呈现“兴而勃焉、衰而忽焉”的模式？过去几百年，自然科学有太多这样的领域经历这样的故事：兴旺以春风、消失以寒流。

    有鉴于此，物理人面临的首要任务便是能够找到更多的拓扑量子材料，并能够对这些材料的拓扑量子态性质进行准确可靠判断，从而找到性能好、使用温度高、制备简单和价格便宜的新材料体系，以满足付诸实际应用的要求。这既是拓扑量子材料领域发展的需要，更是其尽快走向应用的法门。

    4. 寻找出路

    现代材料科学经过近百年的发展，积累了庞大而繁杂的材料数据库 （无机材料数据库收集了迄今为止已经生长出来的约20 万个材料体系）。寻找更多的拓扑量子材料，一类更有效的战略便是在这一庞大数据库中进行判断筛选。要完成这项任务，物理人首先要找到一种方法，理论或者实验方法都行，以便能够快速方便地判定一种材料是不是拓扑量子材料。这是第一步，无它一切便无从谈起！

    一般而言，不同的拓扑量子态可以用不同的拓扑不变量来描述，因此确定一个材料体系电子结构的拓扑不变量是判断其拓扑性质的核心。或者说，已有的寻找思路是：根据物理或化学经验，分析选取可能的候选材料，然后进行计算或实验以求得某个拓扑不变量，判断这是一个什么类型的拓扑量子材料。遗憾的是，实验判定拓扑不变量在技术上面临很大挑战，这容易理解。拓扑不变量，例如拓扑陈数，一般是由能带结构的积分而来。实验中要得到一个材料完整的能带结构不是一件容易的事，虽然并非不可能。而确定波函数的相位难度则更大。物理人纠结斟酌的最后结果：这一领域的一大特点就是通过基于密度泛函理论的第一性原理方法理论计算某个拓扑不变量来预言拓扑量子材料，然后才是被角分辨光发射谱、输运测量等实验来“部分”证实。说“部分”是因为诸如角分辨能谱技术也不能给出整个能带的全貌！这一特点昭示出拓扑不变量的计算在拓扑量子材料研究中的重要性。

    但是，通过直接计算拓扑不变量来判断一个体系拓扑性质的方法并不是没有问题的。过去的经验表明这一方法显示出很大局限性：

    （1） 计算拓扑不变量通常需要进行基于波函数的积分，这一计算工作量极大。

    （2） 对一材料，需要对所有的拓扑不变量进行计算，才能确定其拓扑性质。这一“所有”也带来很大的工作量。

    总之，上述两大局限性导致现行计算方法的效率较低。虽然十多年时间过去了，成效不明显。当然，物理人天生不安分，对这种状况自然不大满意，因此开始探索一些理论方案和高效计算方法来推进寻找拓扑量子材料。理论研究揭示，使用电子被占据能带在布里渊区中高对称点的不可约表示，可以大大简化拓扑不变量的计算。一个非常成功的例子就是Fu - Kane 判据：利用宇称就能迅速得到具有中心反演对称的非磁材料之Z2不变量。随着研究的深入，物理人逐渐认识到，通过分析材料体系实空间和倒空间的不匹配（mismatch） 看起来是判断拓扑量子态的更好途径之一。

    沿着这一思路，国际上有几个研究组做出了很有价值的努力，这里梳理其中两个研究组的工作简单点评：

    （1） 2017年，普林斯顿大学Bernevig 研究组基于拓扑量子化学的观点，发展了图理论。笔者不才，无法用平常语言简短概述这一图理论奇妙之处，但大概思路是这样：通过引入“基本能带表示”（elementary band  representations），即可由局域原子状的瓦尼尔 （wannier） 轨道组成能带的最小集合。将拓扑非平庸的能带结构所具有的高对称点形态和构型进行分类与简约化，最终可以约化出10,403 个“基本能带表示”，即能带结构“图形”作为基元。由此，对任何一个材料，只要将其能带结构与这些基元进行比较，就可以判定材料的拓扑性质。与之前单一积分计算拓扑不变量比较，这是很大的进步。

    （2） 哈佛大学Vishwanath 研究组基于商群的方法，也发展出一种对任意空间群中所有可能的拓扑量子态进行理论分类的架构。Vishwanath 教授毕竟非等闲之辈，他们发展的这一分类方法有独到之处，为发展判定拓扑性质的新方法提供了坚实基础。

    图4. 万贤纲等人的理论方案。（a） 给出230 个空间群所对应的原子绝缘体基组。（b） 计算材料体系的电子能带结构，并求出其占据态在布里渊区不同高对称点不可约表示的占据情况。（c） 将上一步得到的材料不同不可约表示的占据情况用原子绝缘体基组进行线性展开得到系数q。根据展开系数q 是否是整数来判定体系是否为拓扑材料。

    5. 新的方案

    最近，南京大学物理学院万贤纲课题组与哈佛大学Ashvin Vishwanath 课题组合作，发展出一套高效预测拓扑材料的理论方案。这一方案具有两个鲜明特点：理论方法新、实际搜索效率高速度快。

    这一理论方案的主要创新点在于通过与“原子绝缘体”比较来判定一个体系的拓扑性质，整个思路如图4 所示。该方案分为三个步骤：

    （1） 对任意空间群构造对应的“原子绝缘体基组”。这一步骤主要精神是“原子绝缘体”（即可绝热转变到原子极限的体系）。对某一选定的空间群，列出其所有 Wyckoff 位置上对应位群的不同不可约表示，并用其组成能带。注意到，这一能带在该空间群的布里渊区中有一些高对称点，如果分析这些高对称点little 群之不可约表示占据情况，就可以得到该空间群对应的“原子绝缘体基组”。由此，属于此空间群的任何原子绝缘体，均可借助该“原子绝缘体基组”线性组合而得到。

    值得指出的是，构造“原子绝缘体基组”这一步骤运算非常快，在个人笔记本电脑上使用Mathematica 软件，可在半小时内完成所有230 个非磁空间群的“原子绝缘体基组”构建。

    这里所谓“原子绝缘体基组”，包含了指定空间群的布里渊区中所有高对称点的对称信息。其原子绝缘体基矢的公因子提供了一个基于对称性的完备拓扑分类。例如，如果某一原子绝缘体的基矢具有公因子 2，则对绝缘体而言，相应的展开系数必然为 n 或 1/2 + n′，其中n、n′为整数。前者对应平庸的情形，后者对应拓扑 （晶体） 绝缘体。

    （2） 用第一性原理计算方法，计算占据态布里渊区中高对称点不可约表示的情况。这一步骤花费的时间主要用在对材料进行常规能带计算。完成能带计算后，对给出的占据能带在布里渊区中高对称点的进行群操作，可以很快求出占据态在各个高对称动量点的不可约表示情况。

    （3） 将得到的高对称点不可约表示用该材料对应空间群的“原子绝缘体基组”展开。如果展开系数是非整数，说明这一体系不可能在保持对称性情况下连续变化到原子绝缘体极限。根据展开系数是否为有理分数，还可判断材料是拓扑绝缘体、拓扑晶态绝缘体、拓扑金属等拓扑类型。

    这一理论方案有两个优点：

    （a） 高效：该方法基于“原子绝缘体基组”，通过对比判断一个物理体系是否可以退化到“原子绝缘体”来判定其拓扑性质。用通俗的语言表述，就是：通过检查计算输出的一个数是否是整数，来判断该体系是否为拓扑材料。

    这一方案花费的计算量就是步骤 （2） 中的能带计算，无需去计算耗时费力的各种拓扑不变量，也无需具体分析能带走向的相容性原理，因此计算量大幅减少。在完成能带计算后，只需要判定输出的一个基组展开系数是否为整数，即可判断是否具有拓扑特性……该方案也具有很好的可操作性 （也就是说，该方案不仅计算工作量小，判断是否拓扑的判据也直接明了，非常方便）。

    （b） 普适：值得指出的是，任意一个非磁材料，均属于230 个空间群之一个。所有具有时间反演对称的材料 （即非磁材料） 均可用该方案判断。此外，该方案既可用于二维、亦可用于三维，可以考虑自旋-轨道耦合、也可不考虑自旋-轨道耦合，既可用于满足时间反演对称的非磁性系统、亦可处理时间反演对称破缺的磁性体系。此乃所谓普适性。

    这一理论方案还具有新颖的物理内涵，改变了人们寻找拓扑量子体系的方式。例如，通过寻找Z4 群中非平庸系数为2 的材料体系，可以预言一系列目前尚算罕见的高阶拓扑绝缘体体系。特别是，属于11 号空间群的β相 MoTe2，它具有2 度螺旋保护的铰链态。这一预言已被后续研究证实。属于 12 号空间群的BiBr 体系，它分别具有2 度螺旋保护的铰链态和2 度旋转保护的狄拉克表面态。这一预言也正得到实验高度关注。

图5. 对无机材料库进行拓扑分类的统计图：其中浅橙色、黄色、绿色区域的材料是人们关心的拓扑材料；绿色区域的材料在费米面附近具有对称性保护的能带交点，通常被归类为拓扑半金属。

    6. 万水千山

    最近，基于这一种高效搜索方法，万贤纲及其合作者对无机材料数据库中所有合适的非磁材料的拓扑分类都扫描了一遍。主要计算工作是在一台有28 个计算节点、每一计算节点有32 个核心的刀片集群上完成，所花时间约一个月，只有少数原胞很大的体系使用了教育部2011 计划“人工微结构科学与技术协同创新中心”计算集群来计算。计算结果汇总于图5。

    计算结果和梳理工作揭示，自然界中拓扑材料并不神秘，其实有很多，甚至可以用“随处可见、信手拈来”来形容。看君有兴趣，可以到访网站 （http://ccmp.nju.edu.cn/），那里有万贤纲们预言的10897 种拓扑材料（含费米能级附近有能带交点的体系）之晶体结构、电子能带等数据，以供同行参考与研究。在该网站，只要输入材料信息，进行搜索，就能迅速得到这个材料是否为拓扑材料。与此同时，万贤纲们还挑选了近1000 个费米面比较干净的体系作为精华，希冀同行们能够在未来于这些体系中挖掘出适合实际应用的理想拓扑材料。

    这一大规模搜索工作一经公布，即被 Nature 期刊所关注。该刊于 2018 年 8 月 8 日（888、华人会说是好日子！） 在其News 栏目，以“Trove of exotic matter thrills physicists （新颖材料的宝库使物理学家兴奋不已）”为题，对本工作及另外两个研究组（来自普林斯顿大学和中科院物理所）的相关工作进行报道。

    报道以“For the first time, researchers have systematically scoured through entire databases of materials in search of ones that harbor topological states – exotic phases of matter that have fascinated physicists for a decade （研究人员首次系统地搜寻了整个材料数据库，以寻找具有拓扑状态的材料 —— 这些奇异的物相已经吸引了物理学家十年）”开头，指出“But despite a decade of study, physicists have yet to find a topological insulator that has properties suitable for use in devices —— for example, a material that is easy to grow, non-toxic and with tunable electronic states at room temperature （虽然经过了10 多年的研究，但物理学家们还没有发现任何一类适合在器件上应用的拓扑绝缘体，比如具备易生长、非毒性以及室温可调电子态的材料）”。因此，该报道认为“The resulting haul of topological materials could bring scientists closer to practical applications for these exotic phases, which could revolutionize electronics and catalysis （由此发现的大量拓扑材料能使科学家更接近于这些奇异相的实际应用，这可能引发电子学等领域的革命）”。Nature的编辑进一步援引瑞士洛桑联邦理工学院O. Yazyev 教授的话：“我们知道具有奇特性质的材料越多，就越有可能取得突破”。

    有趣的是，Nature 期刊并非经常对未经同行正规评审的学术文章进行点评，这也从一个侧面展示了这些成果的潜在冲击力与影响力。

    这一大规模搜索工作最近以“Comprehensive search for topological materials using symmetry indicators”为题在线发表于Nature 第 566 卷 486 - 489 页上 （https://www.nature.com/articles/s41586-019-0937-5）。该工作所采用的相关理论方法也在不久前（2019 年 2 月 12 日） 于Nature Physics上发表（https://www.nature.com/articles/s41567-019-0418-7）。这篇 Nature 文章的姊妹篇，即有关高阶symmetry - indicator 因子群 （Z8和Z12 ） 的工作也将于近期刊登于高水平学术期刊。很显然，一项从理论方法到大规模应用的系统性工作之不同侧面均能够同时受到这些刊物的关注和欣赏，也算不易，值得祝贺。

    与这一系列工作同期，中科院物理所的方忠、方辰、翁红明团队，还有美国普林斯顿Bernevig 团队，利用不同方法也完成了对无机材料数据库的搜索，预言了几千种拓扑材料。他们搜索拓扑材料的流程分别如图 6、图7 所示，相关文章也分别发表在Nature 上。这也昭示出在拓扑新材料理论设计方面中国科研团队的地位。

图6. 中科院物理所团队之拓扑材料搜索算法：首先检查高对称点有无能带交点。如果没有，再检查高对称线上的相容性原理。如果相容性原理不被满足，则在对称线上有能带交点；如果满足，再计算symmetry indicator （即图中的IND），去判断具体是属于拓扑绝缘体（TI）、拓扑晶体绝缘体（TCI） 还是平庸绝缘体。

图7. 普林斯顿团队拓扑材料搜索算法：利用第一性原理软件VASP 的结果计算高对称点对称操作的特征标，然后判断相容性原理是否满足：如果不满足就是对称性保护的半金属，否则根据基于“拓扑量子化学”的10403 个EBR （基本能带表示） 的分类去判断是否是拓扑非平庸的绝缘体：无法表示为EBR 的组合，就是拓扑非平庸的绝缘体。

    7. 后记

    万贤纲他们的这一系统性工作之第一作者均为南京大学物理学院及南京微结构国家实验室实验班的博士研究生唐峰，通讯作者均为万贤纲，第一完成和通讯单位均为南京大学。第三作者乃哈佛大学Ashvin Vishwanath 教授，第二作者为Vishwanath 教授的博士生Hoi Chun Po （傅凱駿）。

    这项工作乃万贤纲与合作者在 2011 年提出外尔半金属 （Weyl semimetal） 概念的八年后完成，其学术影响和价值需要同行、时间和实验技术等方面去检验。笔者无意褒奖或贬低一项刚刚发表的工作，但万贤纲们审时度势、密切关注那些重要的emerging issues，这种状态是值得赞许的。

    毫无疑问，这一即便包含了三篇文章的工作，看起来也只是拓扑量子物理长河中之一波浪，依然有很多及至会更多的问题衍生出来。笔者不才，信手拈来几条：

    （1） 原来以为拓扑量子材料很少，现在看起来却是太多。无机材料数据库中拓扑非平庸的非磁体系就有10000 多种，即便万贤纲们经过对费米面“干净美丽”的程度进行筛选，依然有1000 多种。物极必反，对应用而言，这未必是好事。

    （2） 这么多拓扑非平庸体系，意味着仅仅用拓扑不变量来区分材料性质已然不够，显然需要更深层次的物理来研究这些体系。过去几年发现的“三维强拓扑绝缘体、镜面陈绝缘体、……、Hourglass 费米子态”就已经太过眼花缭乱了，这未必是好现象。虽然物理人可以优哉游哉做出更多浪花来，但“多”意味着平庸、“多”意味着宏观，物理人还需要抽丝剥茧、夜以继日。

    （3） 这一系列工作并未触及应用上一些根本性的问题：温度问题、稳定性问题等。这些问题对材料搜索方法的要求又上了一个层次，需要有针对性、有具体目标地去挑选材料、调控材料、优化材料。一日征程、绸缪万里，拓扑量子物理似乎因这些重要进展而变得更加开放与未知。

    The last but not the least，这一系列工作得到了教育部2011计划“人工微结构科学与技术协同创新中心”、南京大学卓越研究计划、固体微结构物理国家重点实验室、国家重点研发计划、国家自然科学基金的支持。在此一并致谢！看君如若有兴趣御览工作之细节，可点击文尾的“阅读原文”，一探究竟！

    备注：

    （1） 题头小词改写自Ising的《苏幕遮@晚秋》，隐晦表达十年磨一剑的物理人之工作状态。文中得罪和挪喻之语归于Ising，与笔者无关。

    （2） 封面图片来自：

    Nature 560, 151-152 （2018） （https://www.nature.com/articles/d41586-018-05913-4），展示了计算机模拟得到的拓扑绝缘体中量子波干涉图案。此文正是评价包括这一系列工作在内的三项工作的那篇NatureView。